Question

решите нееравенство 8 класса.

Answer 1

Ответ:

$(3;4)\cup(4;7)$

Объяснение:

Решим первое неравенство. ОДЗ:

$\displaystyle \left [ {{|x-3|\neq |x-2|} \atop {|x-4|\neq 0}} \right. \left [ {{x\neq \frac{5}{2}} \atop {x\neq 4}} \right.$

$\dfrac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}<\dfrac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}|\cdot\dfrac{|x-4|}{|x-3|+|x-2|}}>0\\\dfrac{(x-4)^2-|x-1||x-4|}{(x-3)^2-(x-2)^2}<1\\\dfrac{x^2-8x+16-|x-1||x-4|}{-(2x-5)}<1\\\dfrac{x^2-8x+16-|x-1||x-4|}{2x-5}+1>0\\\dfrac{x^2-6x+11-|x-1||x-4|}{2x-5}>0$

Если x < 1 или x ≥ 4, то модули раскрываются с одним знаком, произведение подмодульных выражений положительно:

$\dfrac{x^2-6x+11-(x-1)(x-4)}{2x-5}>0\\\dfrac{7-x}{2x-5}>0\\\dfrac{x-7}{2x-5}<0\\x\in(\frac{5}{2};7)$

Учитывая, что x < 1 или x ≥ 4, а также учитывая ОДЗ, $x\in(4;7)$

Если 1 ≤ x < 4, то модули раскрываются с разным знаком, произведение подмодульных выражений отрицательно:

$\dfrac{x^2-6x+11+(x-1)(x-4)}{2x-5}>0\\\dfrac{2x^2-11x+15}{2x-5}>0\\\dfrac{(2x-5)(x-3)}{2x-5}>0\\x-3>0\\x>3$

Учитывая, что 1 ≤ x < 4 и ОДЗ, $(3;4)$.

Объединяя полученные промежутки, получаем, что $(3;4)\cup(4;7)$

Решим второе неравенство. Пусть $2x^2+7x=t$. Тогда

$\sqrt{6t+1}+|t|\geq 9\\\sqrt{6t+1}\geq 9-|t|$

Если правая часть отрицательна, то неравенство выполняется на ОДЗ, так как квадратный корень всегда неотрицателен:

$\displaystyle\left \{ {{6t+1\geq 0} \atop {9-|t|<0}} \right. \left \{ {{t\geq -\frac{1}{6}} \atop {t\in(-\infty;9)\cup(9;+\infty)}} \right. \Rightarrow t>9$

Если правая часть неотрицательна, то обе части можно возвести в квадрат:

$\displaystyle \left \{ {{6t+1\geq 81-18|t|+t^2} \atop {-9\leq t\leq 9}} \right.$

Если t ≥ 0, то модуль раскрывается с плюсом, первое неравенство имеет вид:

$t^2-24t+80\leq 0\\(t-4)(t-20)\leq 0\\4\leq t\leq 20$

Если t < 0, то модуль раскрывается с минусом, неравенство имеет вид:

$t^2+12t+80\leq 0\\t^2+12t+36+44\leq 0\\(t+6)^2+44\leq 0$

Сумма неотрицательного и положительного чисел не может быть неположительной. В данном случае решений нет.

Учитывая -9 ≤ t ≤ 9, решением данного случая является $t\in[4;9]$

Объединив оба случая, получаем t ≥ 4,

$2x^2+7x-4\geq 0\\(x+4)(2x-1)\geq 0\\x\in(-\infty;-4]\cup[\frac{1}{2};+\infty)$

Пересечём полученные решения: ответом будет $(3;4)\cup(4;7)$