Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}$

Пошаговое объяснение:

Данное квадратное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю:

$D=(\dfrac{6}{\sqrt{\sin{a}}})^2-4\cdot\dfrac{9\sqrt{3}}{\cos{a}}=\dfrac{36\cos{a}-36\sqrt{3}\sin{a}}{\sin{a}\cos{a}}=0$

Ограничения на параметр a: $\sin{a}>0,\cos{a}\neq 0$. Учитывая их, домножим на знаменатель и разделим на $36\cos{a}$:

$1-\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sin{a}}{\cos{a}}=0\\tg\ a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\a=\dfrac{\pi}{6}+\pi k, k\in\mathbb{Z}$

Учитывая, что синус от а положителен, то есть а находится в I или II четверти, $a=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}$