Question

Как подступиться к решению такого уравнения?Если можно, то с примером решения этого или подобного уравнения

Answer 1

√3сosx-√2cos²x+√2sin²x+√3sinx=0

√3sinx+√3сosx-√2(cosx-sinx)(cosx+sinx)=0

(cosx+sinx)(√3-√2cosx+√2sinx)=0

cosx+sinx=0;tgx=-1;  х=-π/4+πn; n∈Z;

(sinx-cosx)=-√(3/2)

(sinx-sin(π/2-x)=-√(3/2)

2sin(x-π/4)*cosπ/4=-√(3/2);

√2sin(x-π/4)=-√(3/2);

sin(x-π/4)=-√(3/4);

(x-π/4)=(-1)ⁿ⁺¹arcsin√0.75+πк; к∈Z

x=π/4+(-1)ⁿ⁺¹arcsin√0.75+πк; к∈Z

Answer 2

1. Обратить внимание на аргументы. Здесь есть и х, и 2х.

Значит надо все аргументы свести к одному аргументу х,

применив формулу косинуса  двойного аргумента

$cos2x=cos^2x-sin^2x$  

Уравнение :

$\sqrt{3} cosx-\sqrt{2} (cos^2x-sin^2x)+\sqrt{3} sinx=0$

Разложим на множители:

$(\sqrt{3} cosx+\sqrt{3} sinx)-\sqrt{2}( cos^2x-sin^2x)=0$

$\sqrt{3} (cosx+sinx)-\sqrt{2}( cosx-sinx)(cosx+sinx)=0$

$(cosx+sinx)\cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2}( cosx-sinx))=0$

Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0:

$cosx+sinx=0$     или    $\sqrt{3}-\sqrt{2}( cosx-sinx)=0$

$cosx+sinx=0$  -   однородное тригонометрическое уравнение первого порядка, делим на cosx ≠0

$tgx=-1$

$x=-\frac{\pi }{4} +\pi k, k\in Z$

или

$\sqrt{2}( cosx-sinx)=\sqrt{3}$

Так как

$cosx=sin(\frac{\pi }{2} -x)$

$\sqrt{2}( sin(\frac{\pi }{2} -x)-sinx)=\sqrt{3}$

Применяем формулу

sinα - sinβ=

$\sqrt{2}\cdot 2 sin \frac{(\frac{\pi }{2} -x)-x}{2}\cdot cos\frac{(\frac{\pi }{2} -x)+x}{2}=\sqrt{3}$

$\sqrt{2}\cdot 2 sin (\frac{\pi }{4} -x)\cdot cos\frac{\pi }{4}=\sqrt{3}$

так как $cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}\cdot 2 sin (\frac{\pi }{4} -x)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$

$sin (\frac{\pi }{4} -x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$   так как синус - нечетная функция, то

$sin (x-\frac{\pi }{4} )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общий вид решения уравнения:

$x-\frac{\pi }{4} =(-1)^{k}(-\frac{\pi}{3})+ \pi k, k \in Z$

Это удобнее записать в виде серии двух ответов:

k=2m                                   или    k  = 2n-1

$x-\frac{\pi }{4} =-\frac{\pi}{3}+2 \pi m, m \in Z$  или   $x-\frac{\pi }{4} =-\frac{2\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z$

$x=\frac{\pi }{4} -\frac{\pi}{3}+2 \pi m, m \in Z$     или    $x=\frac{\pi }{4} -\frac{2\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z$

$x= -\frac{\pi}{12}+2 \pi m, m \in Z$        или     $x= -\frac{5\pi}{12}+2 \pi n, n \in Z$

О т в е т. $-\frac{\pi }{4} +\pi k, k\in Z$;   $-\frac{\pi}{12}+2 \pi m, m \in Z$; $-\frac{5\pi}{12}+2 \pi n, n \in Z$