Question

sin(π3−x)+cos(π6−x)=3–√ 2. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π/2;9π/2].

Answer 1

$sin(\frac{\pi }{3} -x)+cos(\frac{\pi }{6} -x)=3-\sqrt{2}$

$sin\frac{\pi }{3}\cdot cosx -cos\frac{\pi }{3} \cdot sinx+cos\frac{\pi }{6} \cdot cosx+sin\frac{\pi }{6} \cdot sinx=3-\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{3} }{2}\cdot cosx -\frac{1 }{2} \cdot sinx+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cosx+\frac{1}{2} \cdot sinx=3-\sqrt{2}$

$\sqrt{3}\cdot cosx=3-\sqrt{2}$

$cosx=\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$   ⇒    $x=\pm arccos(\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{3}})+2\pi n, n \in Z$

Отрезку   $[\frac{\pi }{2};\frac{9\pi }{2} ]$  принадлежат 4  корня:

$x=- arccos(\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{3}})+2\pi;\\\\x= arccos(\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{3}})+2\pi;\\\\x=- arccos(\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{3}})+4\pi;\\\\x= arccos(\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{3}})+4\pi$