Question

log14(x2+64)+log4(x+1)+2<0 решите пж

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{x^2+64 >0} \atop {x+1>0}} \right.$     $\left \{ {{x\in (-\infty;+\infty)} \atop {x>-1}} \right.$       x ∈(-1;+∞)

$log_{14}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+2 <0$

$log_{14}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+log_{4}16 <0$

$log_{14}(x^2+64) +log_{4}16(x+1) <0$

$\frac{log_{4}(x^2+64)}{log_{4}14} +log_{4}16(x+1) <0$

$log_{4}14 >0$

$log_{4}(x^2+64)+ log_{4}14\cdot log_{4}16(x+1) <0$

$log_{4}(x^2+64) < - log_{4}14\cdot log_{4}16(x+1)$

Может  все-таки опечатка и в первом логарифме основание 4:

$log_{4}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+2 <0$

$log_{4}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+log_{4}16 <0$

$log_{4}(x^2+64) +log_{4}16(x+1) <0$

$log_{4}(x^2+64) <-log_{4}16(x+1)$

$log_{4}(x^2+64) <log_{4}(16(x+1))^{-1}$

$log_{4}(x^2+64) <log_{4}\frac{1}{16(x+1)}$

Логарифмическая функция с основанием 4 возрастающая, поэтому

$x^2+64 <\frac{1}{16(x+1)}$

$x^2+64 -\frac{1}{16(x+1)} <0$

$\frac{16\cdot (x+1)\cdot (x^2+64)- 1}{16(x+1)} <0$

$\frac{16x^3+16x^2+1024x+1024- 1}{16(x+1)} <0$

$\frac{16x^3+16x^2+1024x+1023}{16(x+1)} <0$

Решаем методом интервалов:

нули числителя: х ≈ -0,999

нули знаменателя: х =-1

Отмечаем  эти точки на ОДЗ и расставляем знаки:

(-1) __-_ (-0,999) __+__  

О т в е т. (-1;≈ -0,999)