Question

т36) Найдите наименьшее положительное решение уравнения cos^2(2x)= (2+ корень3)/4
${cos}^{2} 2x = \frac{2 + \sqrt{3} }{4}$
Варианты ответа:

π/3 ; 2π/3 ; π/12 ; π/24

Заранее спасибо!
​

Answer 1

Решение:

Уравнение:

$\cos^2 2x = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$

Предлагаю применить формулу косинуса половинного угла (она выглядит вот так: $\cos^2 \dfrac{ \alpha }{2} = \dfrac{1 + \cos \alpha }{2}$):

$\displaystyle \cos^2 \frac{4x}{2} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4} \\\\\frac{1 + \cos 4x}{2} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$

Теперь домножим обе части уравнения на четыре (чтобы "избавиться от дробей") + упростим получившееся выражение:

$\displaystyle 4 \cdot \bigg ( \frac{1 + \cos 4x}{2} \bigg ) = 4 \cdot \bigg ( \dfrac{2+\sqrt{3}}{4} \bigg ) \\\\2 + 2 \cos 4x = 2 + \sqrt {3} \\\\2 \cos 4x = \sqrt{3} \\\\\cos 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Мы получили выражение вида $\cos y = a$ (в нашем случае $y=4x$). Оно решается по формуле: $y = \pm \arccos a + 2 \pi n$, $n \in \mathbb Z$. Значит:

$4x = \pm \arccos \dfrac{ \sqrt {3} }{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb Z$

А также вспомним, что $\arccos \dfrac{ \sqrt {3} }{2} = \dfrac{\pi}{6}$:

${ 4x = \pm \dfrac{ \pi }{6} + 2 {\pi n}, n \in \mathbb Z }$

И, на всякие случай, поделим все на $4$:

$\boxed { x = \pm \dfrac{ \pi }{24} + \dfrac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z }$

Теперь найдем наименьшее положительное решение уравнения. Понятно, что $\pi/24$ нужно взять с "плюсом" (чтобы и в итоге получился "плюс"), а также $n$ приравнять нолю:

$x_1 = \dfrac{\pi}{24}$

Получился как раз последний вариант ответа!

Ответ:

$\large {\boxed {x = \dfrac{\pi}{24}}}$