Question

Методом спуска решить в целых числах
x^2 + 6y^2 = 5z^2​

Answer 1

Среди всех троек $(x,y,z)$, являющихся решением исходного уравнения выберем тройку $(x_{0},y_{0},z_{0})$ такую, что сумма $x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2$ минимальна. Если существует более одной такой тройки, то выберем любую.

Рассмотрим уравнение по модулю 3: $x^2\equiv -z^2\mod 3$, что возможно только если $x,z$ делятся на 3. Пусть тогда $x=3x',\;z=3z'$. Имеем: $9x'^2+6y^2=45z'^2$, откуда ясно, что $9\;|\;6y^2$, откуда $3\;|\;y$, поэтому $y=3y'$. Подставим в уравнение: $9x'^2+54y'^2=45z'^2 \Leftrightarrow x'^2+6y'^2=5z'^2$. То есть любому решению $(x,y,z)$ можно сопоставить решение $(x',y',z')$, причем $x^2+y^2+z^2\leq x'^2+y'^2+z'^2$. Но для рассматриваемого решения сумма квадратов минимальна. Следовательно $x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2=x'_{0}^2+y_{0}'^2+z'_{0}^2$, что возможно только в случае, если $x_{0}=x'_{0},\; y_{0}=y'_{0},\;z_{0}=z'_{0}$, откуда следует $x=y=z=0$.