Question

4. Найдите интеграл: $\int\ \frac{\sin \ 2x \ dx }{\cos \ x}$ 5. Вычислите $\int\limits^2_1 \ \frac{dx}{x^{2}{+3} }$
Помогите пожалуйста очень срочно, заранее огромное спасибо

Answer 1

$\displaystyle 4. \ \int \dfrac{\sin 2x}{\cos x} \, dx = \int \dfrac{2\sin x \cos x}{\cos x} \, dx = \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C$

Ответ: $-2\cos x + C$

$5. \ \displaystyle \int\limits^{2}_{1} {\dfrac{dx}{x^{2} + 3} } \, dx = \int\limits^{2}_{1} {\dfrac{dx}{x^{2} + (\sqrt{3})^{2}} } \, dx = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\, \text{arctg} \, \dfrac{x}{\sqrt{3}} \bigg | ^{2}_{1} =$

$= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\, \text{arctg} \, \dfrac{2}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\, \text{arctg} \, \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \left(\text{arctg} \, \dfrac{2}{\sqrt{3}} - \text{arctg} \, \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) =$

$= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \left(\text{arctg} \, \dfrac{2}{\sqrt{3}} - \dfrac{\pi}{6} \right)$

Ответ: $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \left(\text{arctg} \, \dfrac{2}{\sqrt{3}} - \dfrac{\pi}{6} \right)$