Question

1. Решить уравнение: $\sin^{2} x - 6\sin x - 5 = 0$ 2. Вычислить предел: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1-1} }{x}$ 3. Найдите производную от функции: $y= \frac{tg\ x}{1-tg\ x}$

Answer 1

$1. \ \sin^{2}x - 6\sin x - 5 = 0$

Замена: $\sin x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$t^{2} - 6t - 5 = 0$

$D = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$

$t_{1,2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}$

$\sqrt{9} < \sqrt{14} < \sqrt{16}\Rightarrow \sqrt{14} \approx 3,7$

$t_{1} = 3 + \sqrt{14} \approx 3 + 3,7 > 1$

$t_{2} = 3 - \sqrt{14} \approx 3 - 3,7> -1$

Обратная замена:

$\sin x = 3 - \sqrt{14}$

$x = (-1)^{n} \arcsin (3 - \sqrt{14}) + \pi n, \ n \in Z$

Ответ: $x = (-1)^{n} \arcsin (3 - \sqrt{14}) + \pi n, \ n \in Z$

$2. \ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1 - 1}}{x}$

Поскольку функция $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1 - 1}}{x}$ не определена слева от $0$, то следует вычислить правосторонний предел:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{\sqrt{x + 1 - 1}}{x} = \left(\frac{0}{0} \right) = \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{x^{0,5}}{x^{1}}=$

$= \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x^{0,5}} = \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{0}} = +\infty$

Ответ: $+\infty$

$3. \ y = \dfrac{\text{tg} \, x}{1 - \text{tg} \, x}$

Используем правило дифференцирования: $\left(\dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$

Используем формулу дифференцирования: $(\text{tg} \, x )' = \dfrac{1}{\cos^{2}x}$

$y' = \left(\dfrac{\text{tg} \, x}{1 - \text{tg} \, x} \right)' = \dfrac{(\text{tg} \, x)'(1 - \text{tg} \, x) - \text{tg} \, x (1 - \text{tg} \, x)'}{(1 -\text{tg} \, x)^{2}} =$

$= \dfrac{\dfrac{1}{\cos^{2}x}(1 - \text{tg} \, x) - \text{tg} \, x \cdot \left(-\dfrac{1}{\cos^{2}x} \right)}{(1 -\text{tg} \, x)^{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{\cos^{2}x}\left (1 - \dfrac{\sin x}{\cos x} \right) + \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos^{2}x} }{(1 -\text{tg} \, x)^{2}} =$

$= \dfrac{\dfrac{1}{\cos^{2}x} \cdot \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x} + \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos^{2}x} }{(1 -\text{tg} \, x)^{2}} = \dfrac{\dfrac{\cos x - \sin x + \sin x}{\cos^{3}x} }{(1 -\text{tg} \, x)^{2}} =$

$= \dfrac{1}{\cos^{2}x(1 - \text{tg} \, x)^{2}} = \dfrac{1}{(\cos x (1 - \text{tg} \, x))^{2}} = \dfrac{1}{\left(\cos x \cdot \left(1 - \dfrac{\sin x}{\cos x} \right) \right)^{2}}$

$= \dfrac{1}{\left( \cos x \cdot \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x} \right)^{2}} = \dfrac{1}{(\cos x - \sin x)^{2}} =$

$= \dfrac{1}{\cos^{2}x - 2\cos x \sin x +\sin^{2}x} = \dfrac{1}{1 - \sin 2x}$

Ответ: $y' = \dfrac{1}{1 - \sin 2x}$