Question

Найти сумму степенного ряда

Answer 1

Пусть $x=\frac{3}{5}$

$\sum\limits_{i=0}^{\infty} (i+1)x^i = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (x^{i+1})'=(\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^{i+1})' = (\frac{x}{1-x})' = (-1+\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}$

$\sum\limits_{i=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^i(i+1) = \frac{1}{(1-\frac{3}{5})^2}= \frac{25}{4}$

Answer 2

Ответ:

25/4

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим степенной ряд вида: $\sum\limits_{i=0}^{\infty} (i+1)x^i$

По признаку Даламбера и необходимому условию сходимости ряда можно заключить, что этот ряд сходится при $-1<x<1$

Воспользуемся трюком с почленным интегрированием и дальнейшим почленным дифференцированием ряда, которые справедливы на промежутке сходимости исходного степенного ряда:

$\sum\limits_{i=0}^{\infty} (i+1)x^i = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (x^{i+1})'=(\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^{i+1})' = (\frac{x}{1-x})' = (-1+\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}$

Подставляя $x=\frac{3}{5}$ находим сумму искомого ряда:

$\sum\limits_{i=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^i(i+1) = \frac{1}{(1-\frac{3}{5})^2}= \frac{25}{4}$