Question

n!+4n-9=k в квадрате, помогите!!!

Answer 1

Ответ:

$n = 2, k = 1; n = 3, k = 3$

Пошаговое объяснение:

Итак, решаем уравнение

$n! + 4n - 9 = k^2$

в натуральных числах. Разберем сначала случай

$n \geq 4:$ тогда $n! \vdots 4$ (так как $n!$ содержит в разложении $4$) и $4n \vdots 4$. Значит левая часть по модулю $4$ дает остаток $-9 = 3 (mod\ 4)$.

Заметим, что уравнение

$3 = k^2 (mod\ 4)$ решений не имеет, так как $k^2 (mod\ 4)$ может давать такие остатки:

$0^2 = 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4 = 0(\mod 4), 3^2 = 9 = 1 (mod\ 4)$. Заметим, что среди них нет значения $3$, то есть уравнение $3 = k^2 (mod\ 4)$ решений не имеет.

Осталось разобрать 4 случая: $n = 0, n = 1, n = 2. n = 3.$

$n = 0$:

$1 - 9 = k^2$

решений очевидно нет, так как левая часть отрицательна, а правая положительна.

$n = 1$:

$1 + 4 - 9 = k^2$

решений нет по тем же причинам, что и для $n = 0$.

$n = 2$:

$2 + 8 - 9 = k^2$

$1 = k^2$

$k = 1$ (если просят решение не в натуральных, а в целых, то нужно добавить в решения $k = -1$).

$n = 3$:

$9 = k^2$

$k = 3$ (и также, как в предыдущем пункте, если нужны целые решения $k = -3$ тоже подходит)