Question

СРОЧНО НУЖНА ПОМОЩЬ АЛГЕБРА

Answer 1

Можно решать, конечно, используя производную, но что-то мне подсказывает, что это задача ближе к олимпиадной и до 10 класса.

Итак, есть неравенство, которое надо доказать:

$x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2 \ (1)$

При этом известно, что $x>0, \ y>0, \ x+y=2$

Попробуем немного преобразовать выражение

$x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=(x+y)^2-2xy$

Учитывая, что $x+y=2 \Rightarrow (x+y)^2=2^2=4$

Тогда получаем

$x^2y^2(4-2xy)$

Сделаем замену $xy=t \Rightarrow x^2y^2=(xy)^2=t^2$

Теперь получаем следующее неравенство

$t^2(4-2t)\leq 2 \ (2)$

Но важно проанализировать возможные значения $t$

$x+y=2 \Rightarrow y=2-x \Rightarrow t=xy=x(2-x)$

Очевидно, что снизу $t$ ограничено нулем, так как произведение положительных чисел положительно, а вот сверху - надо выяснить, но $f(x)=x(2-x)=-x^2+2x$ - парабола с ветвями направленными вниз, то есть её максимум будет в вершине. Формула вершины $\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a} =-\frac{2}{2\cdot (-1)}=1 \\ f(x_0)=-1^2+2\cdot 1=-1+2=1$

То есть $0< t\leq 1 \ (3)$

Теперь вернемся к неравенству (2)

Нужно доказать, что оно выполняется. Предположим, что оно выполняется для всех допустимых $x,y$, соответственно, для $0< t\leq 1$

Вычислим, для каких $t$ в целом неравенство выполняется. Если найдется хотя бы один промежуток для t внутри (3), в котором неравенство не выполняется, то тогда противоречие и исходное неравенство неверно. Иначе исходное неравенство верно (к чему, по идее, мы и должны прийти).

Решаем (2):

$4t^2-2t^3\leq 2 |:(-2) \Rightarrow t^3-2t^2+1\geq 0 \ (4)$

Хоть это кубическое неравенство, но оно совсем несложное. Чтобы решить неравенство методом интервалов, необходимо найти корни уравнения $t^3-2t^2+1=0$, так как сумма коэффициентов уравнения равна 0, то $t=1$ - корень, зная это, разложим на множители:

$t^3-2t^2+1=(t^3-t^2)-(t^2+t)-(t-1)=t^2(t-1)-t(t-1)-(t-1)=\\=(t-1)(t^2-t-1)$

Квадратное уравнение решим стандартно:

$\displaystyle t^2-t-1=0: \ D=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-1)=1+4=5 \\ t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Необходимо определить расположение чисел на оси (эти два корня и 1).

$1<5 \Rightarrow \sqrt{1}=1 < \sqrt{5} \Rightarrow (1-\sqrt{5})<0$

Значит, корень с минусом точно меньше 1, раз меньше 0.

А второй корень (с +) сравним с 2, если больше, то тогда этот корень больше 1.

$4<5 \Rightarrow \sqrt{4}=2<\sqrt{5}$, этого уже достаточно, то есть корни располагаются так:

с "-", 1, с "+". В разложении все коэффициенты положительны, а значит, в самом правом промежутке +, а дальше знаки чередуются, так как нет корней четной кратности.

- + - +

Самое последнее неравенство, от которого мы отталкивались - (4), а значит, нужные нам промежутки с "+", то есть$\displaystyle t\in \bigg[\frac{1-\sqrt{5}}{2}; 1\bigg] \cup \bigg[\frac{1+\sqrt{5}}{2}; +\infty \bigg)$

Первый промежуток включает в себя и $0<t\leq 1$, а это значит, что для промежутка (3) неравенство выполняется так же, то есть и исходное неравенство (1) выполняется для всех $x>0, \ y>0, \ x+y=2$, что и требовалось доказать.