Question

Решить дифференциальное уравнение:

$y'=\frac{\sqrt{y} }{cos^{2}x }$

Answer 1

dy/dx=√y/cos²x

dy/√y=dx/cos²x

∫dy/√y=∫dx/cos²x

2√y=tgx+c

Answer 2

$y' = \dfrac{\sqrt{y}}{\cos^{2}x}$

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{y}}{\cos^{2}x} \ \ \ | \cdot dx$

$dy = \dfrac{\sqrt{y}}{\cos^{2}x}\, dx \ \ \ | : \sqrt{y} \neq 0$

$\dfrac{dy}{\sqrt{y}} = \dfrac{dx}{\cos^{2}x}$

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y}} = \int \dfrac{dx}{\cos^{2}x}$

$2\sqrt{y} = \text{tg} \, x + C$ — общий интеграл

Анализ потери корней:

1) Если $\sqrt{y}= 0; \ y = 0$, то $\dfrac{d(0)}{dx} = \dfrac{\sqrt{0}}{\cos^{2}x}$  — правда.

2) $2\sqrt{0} = \text{tg} \, x + C; \ C = -\text{tg} \, x; \ C \notin \mathbb{R}$

Ответ: $2\sqrt{y} = \text{tg} \, x + C; \ y = 0$