Question

Помогите, даю 100 баллов

Answer 1

$y' + \dfrac{7}{7x + 3}y = x - 3$

Маємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого роду.

Використаємо метод Бернуллі. Нехай $y = uv, \ y' = u'v + uv'$, де $u = u(x), \ v = v(x)$ — невідомі функції.

$u'v + uv' + \dfrac{7}{7x + 3}uv = x - 3$

$u'v + u\left(v' + \dfrac{7}{7x + 3}v \right) = x - 3$

Нехай $v' + \dfrac{7}{7x + 3}v = 0$. Тоді $u'v = x - 3$. Маємо:

$\displaystyle \left \{ {{v' + \dfrac{7}{7x + 3}v = 0 \ \ (1)} \atop {u'v = x - 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) }} \right.$

$(1) \ v' + \dfrac{7}{7x + 3}v = 0$

$\dfrac{dv}{dx} = -\dfrac{7}{7x + 3}v$

$\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{7}{7x + 3}dx$

$\displaystyle \int \dfrac{dv}{v} = -\int \dfrac{7}{7x + 3}dx$

$\ln |v| = - \ln |7x + 3|$

$v = \dfrac{1}{7x + 3}$

$(2) \ u'v = x - 3$

$\dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{1}{7x + 3} = x - 3$

$du = (x - 3)(7x + 3)dx$

$\displaystyle \int du = \int (7x^{2} - 18x - 9)\, dx$

$u = \dfrac{7x^{3}}{3} - 9x^{2} - 9x + C$

Тоді $y = uv = \left(\dfrac{7x^{3}}{3} - 9x^{2} - 9x + C \right)\dfrac{1}{7x + 3}$

Відповідь: $y = \left(\dfrac{7x^{3}}{3} - 9x^{2} - 9x + C \right)\dfrac{1}{7x + 3}$