Question

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, стороны оснований – 5 и 17 см.Найдите диагональ пирамиды.

Answer 1

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида.

Стороны оснований = 5 см, 17 см.

Найти:

А1С - ?

Решение:

"Правильный многоугольник - многоугольник, у которого все углы и стороны равны".

Так как данная пирамида - правильная, четырёхугольная => основание данной пирамиды - квадрат.

"Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны".

НО: Заметим, что нам даны совершенно разные величины оснований пирамиды.

=> перед нами - усечённая правильная четырёхугольная пирамида.

"Усечённая пирамида - часть пирамиды, заключённая между её основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды".

=> CD = 17 (см), А1В1 = 5 (см).

Итак, у нас два квадрата А1В1С1D1 и АВСD, которые являются основаниями этой усечённый пирамиды.

Диагональным сечение данной усечённой пирамиды является равнобедренная трапеция А1АС1С.

Проведём высоту А1К.

Так как А1С1 и АС - диагонали квадратов АВСD и A1B1C1D1 => A1C1 = A1B1 * √2 = 5 * √2 = 5√2 (см)

Также АС = CD * √2 = 17√2 (см).

А1К ┴ АС, С1Н ┴ АС, так как А1К и С1Н - высоты.

=> А1С1НК - прямоугольник. => А1С1 = КН, А1К = С1Н.

Рассмотрим △АА1К и △СС1Н:

А1К = С1Н, так как А1С1НК - прямоугольник.

АА1 = С1С, так как А1АС1С - равнобедренная трапеция.

=> △АА1К = △СС1Н, по карету и гипотенузе.

=> АК = СН = 1/2(АС - А1С1) = 1/2(17√2 - 5√2) = 6√2 (см)

=> СК = АС - АК = 17√2 - 6√2 = 11√2 (см)

Найдём А1С, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

√(4² + (11√2)²) = √(16 + 121 * 2) = √258 (см)

Ответ: √258 (см)