Question

помогите решить комбинированное уравнение

Answer 1

Ответ:

$x = -\frac72$

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим правую часть уравнения: $3 - \cos^2\left(\frac{3\pi x}{7} \right)$.

У правой части множество значений функции $[2; 3]$.

Рассмотрим левую часть уравнения: $\sqrt{9 + (2x + 7)^2}$. Функция растёт в бесконечность, а её минимум - $3$ - достигается, когда квадрат равен 0. Т.е. её множество значений  $[3; +\infty)$.

Единственное решение может существовать тогда и только тогда, когда обе части равны 3.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}3 - \cos^2\left(\frac{3\pi x}{7} \right) = 3\\\sqrt{9 + (2x + 7)^2} = 3\end{cases}$

1)

$3 - \cos^2\left(\frac{3 \pi x}{7}\right) = 3\\\cos^2\left(\frac{3 \pi x}{7}\right) = 0\\\cos\left(\frac{3 \pi x}{7}\right) = 0\\\frac{3 \pi x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\\x = \frac{7 + 14k}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2)

$\sqrt{9 + (2x + 7)^2} = 3\\9 + (2x + 7)^2 = 9\\(2x + 7)^2 = 0\\x = -\frac72$

Найдём общее решение:

$-\frac72 = \frac{7 + 14k}{6}\\-21 = 7 + 14k\\k = -2$

Оно подходит под условие, что $k$ - целое, следовательно $x = -\frac72$ является единственным решением.