Question

На стороне AC треугольника ABC нашлась такая точка E, что ∠ABE=90∘ и AE=2BC. Найдите угол ABC, если ∠BAC=24∘.

Answer 1

Ответ:

∠АВС = 108°.

Объяснение:

По рисунку:

В прямоугольном треугольнике АВЕ по сумме острых углов

∠ВЕА =  90-24 = 66°.

∠ВЕС = 90+24 = 114° (как внешний угол треугольника АВЕ.

В треугольнике ВЕС по теореме синусов имеем:

ВС/Sin114 = BE/SinC.  =>  SinC = BE·Sin114/BC.  (1)

В прямоугольном треугольнике AВЕ имеем:

ВЕ = АЕ·Sin24.  Но АЕ = 2·ВС.  Тогда

ВЕ = 2ВС·Sin24.  Подставим это значение в (1):

SinC = 2·Sin24·Sin114.

Заметим, что Sin24 = Sin(90 - 66) = Cos66, а

Sin114 = Sin(180-66) = Sin66. Тогда

2·Sin24·Sin114 = 2·Cos66·Sin66, а это формула двойного угла:

Sin(2·66) = 2·Sin66·Cos66.

Итак, SinC = Sin(2·66) = Sin132  и следовательно, ∠С = 132°.  

В треугольнике СВЕ два тупых угла быть не может, но зная, что

Sin(180-a) = Sina, получим ∠С = 180 - 132 = 48°.

По сумме внутренних углов треугольника СВЕ имеем:

∠СВЕ = 180 - 114-48 = 18°. Тогда

∠АВС = ∠АВЕ + ∠СВЕ = 90 +18 = 108°.

∠СВЕ = 180 - 114 = 108°.