Question

СРОЧНО!!! Найти область сходимости ряда.

Answer 1

Итак, у нас есть ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(x-4)^{2n-1}}{2n-1}$.

Вычислим $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \bigg|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\bigg| = \lim_{n\to +\infty} \bigg|\frac{\frac{(x-4)^{2(n+1)-1}}{2(n+1)-1}}{\frac{(x-4)^{2n-1}}{2n-1}}\bigg|= \lim_{n\to +\infty}\bigg|\frac{2n-1}{2n+1}\cdot \frac{(x-4)^{2n+1}}{(x-4)^{2n-1}}\bigg| = \\=\lim_{n\to+\infty}|\frac{2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}\cdot (x-4)^{2n+1-2n+1}|=|x-4|^2=(x-4)^2$

Вот это уже хорошо. Нужно, чтобы это выражение было меньше единицы (это из признака Даламбера), тогда мы найдем те самые х, при которых ряд будет сходиться.

$(x-4)^2<1 \Rightarrow -1<x-4<1 \Rightarrow 3<x<5$

Вот мы их получили. Но теперь нужно проверить концы: $x=3; \:x=5$

$\displaystyle x=3: \ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{2n-1}$

Что можно сказать об этом ряде? Допустим, мы будем использовать предельный признак сравнения. Есть известный ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$, он расходится, при этом предел отношения n-ых членов полученного ряда и приведенного не равен 0, а равен конкретной константе (-1/2, если делить n-ый член полученного на n-ый член ряда 1/n), так что при $x=3$ ряд расходится.

Аналогичная история $\displaystyle x=5: \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1^{2n-1}}{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}$

Все те же рассуждения, только предел отношения будет равен 1/2. То есть при $x=5$ ряд расходится.

Ответ: $\boxed{x\in(3;5)}$