Question

Пожалуйста, решите подробным решением.
И можно ли использовать 5пи/6 и -5пи/6?

Answer 1

Пусть $\displaystyle t = x+\frac{\pi}{8}$

Рисуем окружность и смотрим, где $\displaystyle cos\ t = -\frac{\sqrt{3} }{2}$, отмечаем эти точки с одним периодом, это $\displaystyle \frac{5\pi}{6} ; \frac{7\pi}{6}$.

Косинус меньше будет между этими точками, то есть $\displaystyle \bigg(\frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{6} \bigg)$

Но учитываем, что косинус - функция периодичная, то есть количество таких промежутков бесконечно много и повторяется с периодом $2\pi$, поэтому в ответ добавляем период

Имеем $\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi k <t< \frac{7\pi}{6}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}$

Но у нас $\displaystyle t = x+\frac{\pi}{8}$, заменяем и вычитаем это слагаемое из неравенство, чтобы оставить только $x$.

$\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi k <x+\frac{\pi}{8}< \frac{7\pi}{6}+2\pi k, k\in \mathbb{Z} \\ \frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{8}+2\pi k <x< \frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{8}+2\pi k, k\in \mathbb{Z} \\ \frac{17\pi}{24}+2\pi k <x< \frac{25\pi}{24}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $\boxed{\frac{17\pi}{24}+2\pi k <x< \frac{25\pi}{24}+2\pi k, k\in \mathbb{Z} }$