Question

В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов,радиус вписанной окружности равен 2.Найдите площадь треугольника АВС,если АВ=12.

Answer 1

Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c выполняется следующее соотношение: $r=frac{1}{2}(a+b-c)$

Тогда $a+b-12=2*2$
$a+b=16$.

Возведем в квадрат обе части.

$a^2+2ab+b^2=256$.

В то же время $a^2+b^2=12^2$ по теореме Пифагора.
$a^2+b^2=144$

Вычтем это выражение из выражения выше: $2ab=256-144=112$
$ab=56$.

Теперь возьмем половину от этого выражение, чтобы найти площадь треугольника (а она равна половине произведения катетов)

$S_{ABC}=frac{1}{2}ab=frac{56}{2}=28$