Question

Решите уравнение:

(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x^3 + 14x^2 + 24x = 0 

Answer 1

$(x^2+4x +8)^2 +3x^3 +14x^2+24x=0$

$x^4+16x^2+64+8x^3+16x^2+64x+3x^3+14x^2+24x=0$

$x^4+11x^3+46x^2+88x+64=0$

Это возвратное уравнение четвёртой степени, так как $frac{64}{1}=(frac{88}{11})^2$. Поскольку х=0 не является решением, разделив левую часть на $x^2$, получим

$x^2+11x+46+frac{88}{x}+frac{64}{x^2}=0$

$x^2+frac{8^2}{x^2}<var>+16+11x+frac{88}{x}</var>+30=0$

$(x+frac{8}{x}<var>)^2+11(x+frac{8}{x})</var>+30=0$

Произведём замену: $x+frac{8}{x}=y$

$y^2+11y+30=0$

по теореме Виета: $y_1=-6; y_2=-5$

Делаем обратную подстановку:

$x+frac{8}{x}=-6$

$x^2+6x+8=0$

по теореме Виета: $x_1=-4; x_2=-2$

$x+frac{8}{x}=-5$

$x^2+5x+8=0$

не имеет корней, так как дискриминант отрицательный: D=5^2-4*8=-7<0

Ответ: -4; -2.

Answer 2

$(x^{2}+4x+8)^{2}+3x^{3}+14x^{2}+24x=0$

$x^{4}+16x^{2}+64+8x^{3}+16x^{2}+64x+3x^{3}+14x^{2}+24x=0$

группируем

$x^{4}+(8x^{3}+3x^{3})+(16x^{2}+16x^{2}+14x^{2})+(64x+24x)+64=0$

$x^{4}+11x^{3}+46x^{2}+88x+64=0$

Данное уравнение является возвратным уравнением четвёртой степени, поскольку

$frac{64}{1}=(frac{88}{11})^{2}$. Так как х=0 не является решением

$x^{4}+11x^{3}+46x^{2}+88x+64=0$ /$x^{2}$

 

$x^{2}+11x+46+frac{88}{x}+frac{64}{x^{2}}=0$

 

$x^{2}+frac{64}{x^{2}}+11x+frac{88}{x}+46=0$

 

$x^{2}+frac{8^{2}}{x^{2}}+16+11x+frac{88}{x}+30=0$

 

$(<var>x^{2}+frac{8^{2}}{x^{2}}+16)+(11x+frac{88}{x}+30)=0</var>$

 

$(x+frac{8}{x})^{2}+11(x+frac{8}{x})+30=0$

 

Произведём замену переменных:

 

Пусть $y=x+frac{8}{x}$

 

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

 

$y^{2}+11y+30=0$

 

Cчитаем дискриминант:

 

$D=11^{2}-4cdot1cdot30=121-120=1$

 

Дискриминант положительный

 

$sqrt{D}=1$

 

Уравнение имеет два различных корня:

 

$y_{1}=frac{-11+1}{2cdot1}=frac{-10}{2}=-5$

 

$y_{2}=frac{-11-1}{2cdot1}=frac{-12}{2}=-6$

 

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

$x+frac{8}{x}=-5$ /·$x$

 

умножаем на х для того, чтобы избавиться от знаменателя

$x^{2}+8=-5x$

 

$x^{2}+5x+8=0$

 

Cчитаем дискриминант:

 

$D=5^{2}-4cdot1cdot8=25-32=-7$

 

Дискриминант отрицательный, следовательно уравнение не имеет действительных решений.

 

Случай 2

$x+frac{8}{x}=-6$ /·$x$

 

умножаем на х для того, чтобы избавиться от знаменателя

$x^{2}+8=-6x$

 

$x^{2}+6x+8=0$

 

Cчитаем дискриминант:

 

$D=6^{2}-4cdot1cdot8=36-32=4$

 

Дискриминант положительный

 

$sqrt{D}=2$

 

Уравнение имеет два различных корня:

 

$x_{1}=frac{-6+2}{2cdot1}=frac{-4}{2}=-2$

 

$x_{2}=frac{-6-2}{2cdot1}=frac{-8}{2}=-4$

 

Ответ: $x_{1}=-2$; $x_{2}=-4$