Question

50 Баллов!
Нужно разделить число (1! + 2! + 3! + ... + 100!)^2 на 5. Каков остаток?
Ответ принимается только с пояснениями!

Answer 1

Рассмотрим сумму $S=1!+2!+3!+...+100!$. Каждый ее член, больший $4!$, будет делиться на 5. Можно переписать сумму: $S=1!+2!+3!+4!+5k=32+5k$; По модулю 5: $S\equiv 32\equiv 2 \mod 5$; Тогда $S^2\equiv 2^2\equiv 4\mod 5$; Можно было поступить иначе. Всякий член в сумме, больший 4, оканчивается на 0. Значит, общая сумма будет оканчиваться на 1+2+6+4=13, т.е. на 3. В квадрате — на 9. Значит, остаток равен 4.

Ответ: 4