Question

найти х при которых f'(x) >0
f(x) =(x+2)^2×√x
Помогите,если не сложно) ​

Answer 1

Ответ:

$x \in [0;+\infty)$

Пошаговое объяснение:

$f(x)=(x+2)^2\cdot \sqrt{x}\\f'(x)=2(x+2)\cdot \sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x+2)^2=\frac{4x(x+2)+(x+2)^2}{2\sqrt{x}}$

ОДЗ: $x \geq0$

$4x(x+2)+(x+2)^2=(x+2)(4x+x+2)=(x+2)(5x+2) >0$

Видно, что $f'(x)>0$ для любого $x>0$

Другой способ:

Функция $f(x)=(x+2)^2\cdot \sqrt{x}$ является произведением двух возрастающих функций на промежутке $[0;+\infty)$ (промежуток появляется из-за ОДЗ на функцию $\sqrt{x}$). Отсюда следует, что и сама функция является возрастающей, т.е. $f'(x)>0$ на промежутке $[0;+\infty)$ .