Question

как интегрировать иррациональные уравнения?
$\int\limits^a_b {xdx/(x^2+1)} \,$

Answer 1

$\int \limits_{b}^{a} \frac{xdx}{ {x}^{2} + 1} = \int \limits_{b}^{a} \frac{x}{t} \times \frac{1}{2x}dt = \\ {x}^{2} + 1 = t, \: dx = \frac{1}{2x} dt \\ = \frac{1}{2} \int \limits_{b}^{a} \frac{1}{t} dt = \frac{ ln( |t| ) }{2} |_{b}^{a} = \frac{ ln( {x}^{2} + 1) }{2} |_{b}^{a} = \\ = \frac{ ln( {a}^{2} + 1) - ln( {b}^{2} + 1) }{2} = \frac{1}{2} ln( \frac{ {a}^{2} + 1}{ {b}^{2} + 1})$