Предмет: Алгебра, автор: Грамотныйпарень

Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение:
y'+y= x\sqrt{y}

Ответы

Автор ответа: Аноним
0

y'+y=x\sqrt{y}~~~~|:2\sqrt{y}\\ \\ \dfrac{y'}{2\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{y}}{2}=\dfrac{x}{2}

Введём замену \sqrt{y}=t, тогда получаем

t'+\dfrac{t}{2}=\dfrac{x}{2}

Умножим обе части уравнения на e^{\int \frac{dx}{2}}=e^{\frac{x}{2}}, получим

t'\cdot e^{\frac{x}{2}}+\dfrac{t}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}=\dfrac{x}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}\\ \\ \\ \Big(t\cdot e^{\frac{x}{2}}\Big)'=\dfrac{x}{2}\cdot e^{\frac{x}{2}}\\ \\ \displaystyle t\cdot e^{\frac{x}{2}}=\int \dfrac{x}{2}e^{\frac{x}{2}}dx=\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ dv=e^{\frac{x}{2}}dx;~~~ v=2e^{\frac{x}{2}}\end{array}\right|=2xe^{\frac{x}{2}}-2\int e^{\frac{x}{2}}dx=\\ \\ \\ =2xe^{\frac{x}{2}}-4e^{\frac{x}{2}}+C=2e^{\frac{x}{2}}\Big(x-2\Big)+C

t=2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}

Выполним обратную замену

\sqrt{y}=2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}\\ \\ \boxed{y=\left(2x-4+Ce^{-\frac{x}{2}}\right)^2}

Автор ответа: Artem112
1

y'+y= x\sqrt{y}

Решение уравнения будем искать в виде произведения ненулевых функций:

y=uv

Тогда:

y'=u'v+v'u

Подставляем в исходное уравнение:

u'v+v'u+uv= x\sqrt{uv}

Пусть первое и третье слагаемое левой части в сумме дают ноль:

u'v+uv=0

u'+u=0

\dfrac{du}{dx} =-u

\dfrac{du}{u} =-dx

\int\dfrac{du}{u} =-\int dx

\ln|u| =-x

u =e^{-x}

Тогда второе слагаемое левой части равно правой части:

v'u= x\sqrt{uv}

v'= x\sqrt{\dfrac{v}{u} }

Подставим найденное значение u:

v'= x\sqrt{\dfrac{v}{e^{-x}} }

\dfrac{dv}{dx} = x\sqrt{ve^x }

\dfrac{dv}{\sqrt{v}} = x\sqrt{e^x }dx

2\cdot\dfrac{dv}{2\sqrt{v}} = xe^{\frac{x}{2} }dx

2\int\dfrac{dv}{2\sqrt{v}} = \int xe^{\frac{x}{2} }dx

В левой части табличный интеграл, правую часть интегрируем по частям следующим образом:

\int xe^{\frac{x}{2} }dx=\left<\begin{array}{l} u=x \\ du=dx \\ dv=e^{\frac{x}{2} } \\ v=2e^{\frac{x}{2} } \end{array}\right>=2xe^{\frac{x}{2}}-2e^{\frac{x}{2}}dx=2xe^{\frac{x}{2}}-2\cdot2e^{\frac{x}{2}}=2e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C

2\sqrt{v} =2e^{\frac{x}{2}}(x-2)+2C

\sqrt{v} =e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C

v =\left(e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C\right)^2

Искомая функция:

y=uv=e^{-x}\left(e^{\frac{x}{2}}(x-2)+C\right)^2

Похожие вопросы
Предмет: Английский язык, автор: Анфиса1
Предмет: Литература, автор: antonovuaz