Question

Помогите найти интеграл пожалуйста

Answer 1

Ответ: $e-2$

Пошаговое объяснение:

$t=lnx\\x=e^t\\dx=e^tdt\\x=1 \Rightarrow t=0\\x=e \Rightarrow t=1$

$\int\limits^e_1 {(lnx)^2} \, dx =\int\limits^1_0 {t^2e^t} \, dt$

Интегрируем по частям:

$u=t^2\\du=2tdt\\dv=e^tdt\\v=\int e^t\, dt=e^t$

$\int\limits^1_0 {t^2e^t} \, dt=t^2e^t\bigg|\limits^1_0-\int\limits^1_0 {2te^t} \, dt$

Еще раз по частям:

$u=t\\du=dt\\dv = e^tdt\\v=e^t$

$t^2e^t\bigg|\limits^1_0-\int\limits^1_0 {2te^t} \, dt=t^2e^t\bigg|\limits^1_0-2\left[ te^t\bigg|\limits^1_0-\int\limits^1_0 {e^t}\, dt \right]=t^2e^t\bigg|\limits^1_0-2\left[ te^t\bigg|\limits^1_0-e^t\bigg|\limits^1_0 \right]=e-2$