Question

У квадрат зі стороною 8 см вписано квадрат, вершинами якого є середини сторін заданого квадрата. У другий квадрат у такий же спосіб вписано третій квадрат і т.д. Знайдіть площу шостого квадрата.​

Answer 1

См. рис.

$b_1=8$ см.

По т. Пифагора сторона второго квадрата $b_2=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2$ см

По т. Пифагора сторона третьего квадрата

$b_3=\sqrt{(2\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$ см

Очевидно, что значения длин сторон квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=\frac{\sqrt2}2=\frac1{\sqrt2}$

Тогда сторона шестого квадрата

$b_6=b_1\cdot q^5=8\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^5=8\cdot\frac1{4\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$ см.