Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, подробно рассписать

Answer 1

$y = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x-1} + 8, \ \ \ \ \ [-3;\ 1]$

Найдем производную данной функции:

$y' = \left(\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x-1} + 8\right)' = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x-1} \ln \dfrac{1}{3}$

Найдем критические (стационарные) точки функции, приравняв производную к нулю:

$\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x-1} \ln \dfrac{1}{3} = 0$

$\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x-1} = 0$

$x = \varnothing$

Данная функция не имеет критических (стационарных) точек.

Значит, наибольшим и наименьшим значением исходной функции будет один из концов отрезка: $-3$ или $1$. Определим значение функции в точках $x_{0} = -3$ и $x_{0} = 1$.

$y(-3) = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-3-1} + 8 = 3^{4} + 8 = 81 + 8 = 89$

$y(1) = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{1-1} + 8 = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{0} + 8 = 1 + 8 = 9$

Таким образом, наибольшим значением функции является 89, а наименьшим — 9.

Ответ: $\displaystyle \max_{[-3; \ 1]} y = y(-3) = 89, \ \displaystyle \min_{[-3; \ 1]} y = y(1) = 9$