Question

Решить дифференциальное уравнение...

Answer 1

$(y+x)y'=-y\\ \underbrace{y}_{P(x,y)}dx+\underbrace{(y+x)}_{Q(x,y)}dy=0\\ P'_y=1,\;\;\;Q'_x=1=>P'_y=Q'_x$

А значит имеем уравнение в полных дифференциалах, т.е.

$\exists F(x,y): F'_x=P(x,y), F'_y=Q(x,y)\\ F=\int Pdx +\phi_1(y)=\int ydx+\phi_1(y)=xy+\phi(y)\\ y+x=(xy+\phi(y))'_y=>y+x=x+\phi'_y=>\phi '_y=y=>\phi = \dfrac{y^2}{2}+C_1\\ xy+\dfrac{y^2}{2}+C_1=0\\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

$xy+\dfrac{y^2}{2}+C_1=0,\; y(0)=1\\ \dfrac{1}{2}+C_1=0=>C-1=-\dfrac{1}{2}\\ xy+\dfrac{y^2}{2}-\dfrac{1}{2}=0\\ y^2+2xy-1=0\\ y=\dfrac{-2x\pm\sqrt{4x^2+4}}{2}=-x\pm\sqrt{x^2+1}$

При этом из двух полученных уравнений лишь одна кривая $y=-x+\sqrt{x^2+1}$ проходит через указанную точку.

__________________________________________________

$y'=-1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=-1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}<-1+\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=-1+1=0$

А значит искомая кривая монотонно убывает

$y''=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x*\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0$

А тогда функция выпукла вниз.

Нам не нужно точное построение, поэтому достаточно взять 2-3 точки, и примерно построить. Например, (0;1), (1, -1+√2)≈(1,0.4).