Question

докажите что при а≥-2 выполняется неравенство а^3+8≥2а^2+4а ​

Answer 1

$a^{3}+8$ ≥ $2a^{2}+4a$

$(a+2)(a^{2} -2a+4)$ ≥ $2a(a+2)$

$(a+2)(a^{2} -2a+4) -2a(a+2)$ ≥0

$(a+2)(a^{2}-2a+4-2a )$ ≥0

$(a+2)(a^{2} -4a+4)$ ≥0

  1. $f(a)=(a+2)(a^{2}-4a+4a )$

  2.$f(a)=0, (a+2)(a^{2} -4a+4)=0$

                     $a+2=0$    или  $a^{2} -4a+4=0$

                     $a=-2$               $\left \{ {{a_{1}+a_{2} =4} \atop {a_{1}*a_{2} =4}} \right.$     $a=2, a=2$

  3. ---------(-2)----------2------------>a

      $f(0)=(0+2)(0^{2} -4*0+4)=8>0$ (расставляешь знаки с учетом повтора)

     $f(a)\geq 0$ при $a$ ∈ [-2;∞)

получили: при $a$ ∈ [-2;∞) данное неравенство выполняется