Question

Докажите неравенство: (e^x - 1)*ln(1+x)>x^2

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=(e^x-1)\ln(x+1)-x^2$.

Область определения функции: $x+1>0$ откуда $x>-1$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Ищем производную функции

$f'(x)=e^x\ln(x+1)+\dfrac{e^x-1}{x+1}-2x=0$

$e^x\ln(x+1)+\dfrac{e^x-1}{x+1}=2x$

Строим график функции стоящую слева в уравнении - возрастающая (на области определения) и прямую $y=2x$. Графики пересекаются только в одной точке (0;0).

(-1)___-____(0)_____+____

При $-1 <x<0$ производная отрицательная, а при $x>0$ - положительная. Следовательно, функция $f(x)$ на промежутке $x \in (-1;0)$ убывает, а на пром. $x \in (0;+\infty)$ - возрастает. Значит, в точке $x=0$ функция имеет максимум, который равный 0

Следовательно, функция $f(x)$ всюду положительна на области определения и кроме точки $x=0$, получаем

$f(x)>0~~\Rightarrow~~~ (e^x-1)\ln (1+x)-x^2>0~~\Rightarrow~~ (e^x-1)\ln(1+x)>x^2$