Question

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость

Answer 1

$\displaystyle \int_0^\infty\frac{x\,dx}{\sqrt{(x^2+4)^3}} =\frac12\int_0^\infty\frac{2x\,dx}{(x^2+4)^{3/2}}=\frac12\int_0^\infty(x^2+4)^{-3/2}\,d(x^2+4)=\\=\left.\frac12\frac{(x^2+4)^{-1/2}}{-1/2}\right|_0^\infty=\frac1{\sqrt{0^2+4}}=\frac12$

Второй интеграл расходится в 1/3:

$\displaystyle \int\frac{\ln(3x-1)}{3x-1}dx=\frac13\int\ln(3x-1)\,d\ln(3x-1)=\frac{\ln^2(3x-1)}6+C$

$\displaystyle\lim_{a\to1/3+0}\int_a^1\frac{\ln(3x-1)}{3x-1}dx=\lim_{a\to1/3+0}\left(\frac{\ln^2(3-1)}6-\frac{\ln^2(3a-1)}6\right)=-\infty$