Question

аааа пжпжпжпжпжпжпдпдпдпдпжпжпжпжппппжпжпжпжп​

Answer 1

Используя формулу комбинаций (сочетаний) из $n$ элементов по $k$, а именно $C^{k}_{n}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, решим данные уравнения. Здесь $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n$ —

а) $C^{2}_{n+3}=0,8C^{3}_{n+2}$

$\dfrac{(n+3)!}{2!(n+3-2)!} =0,8 \cdot \dfrac{(n+2)!}{3!(n+2-3)!}$

$\dfrac{(n+3)(n+2)!}{2(n+1)!}=\dfrac{0,8(n+2)!}{6(n-1)!}$

ОДЗ: $n \geqslant 2, \ n \in \mathbb{N}$

$\dfrac{n+3}{(n+1)n(n-1)!}=\dfrac{0,8}{3(n-1)!}$

$\dfrac{n+3}{n(n+1)}= \dfrac{0,8}{3}$

$3(n+3) = 0,8n(n+1)$

$3n+9 = 0,8n^{2} + 0,8n$

$0,8n^{2} - 2,2n - 9 = 0 \ \ \ | \cdot 5$

$4n^{2} - 11n - 45 = 0$

$D = (-11)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-45) = 121 + 720 = 841$

$n_{1} = \dfrac{11 + 29}{8} = \dfrac{40}{8} = 5$

$n_{2} = \dfrac{11 - 29}{8} = -\dfrac{18}{8} = -2,25$ — не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $n = 5$

б) $C^{2}_{n} + C^{2}_{n+1} = 64$

$\dfrac{n!}{2!(n-2)!} + \dfrac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = 64$

$\dfrac{n!}{2(n-2)!} + \dfrac{(n+1)!}{2(n-1)!} = 64$

ОДЗ: $n \geqslant 3, \ n \in \mathbb{N}$

$\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)} + \dfrac{(n+1)n(n-1)!}{2(n-1)!} = 64$

$\dfrac{n(n-1)}{2} + \dfrac{n(n+1)}{2} = 64$

$n^{2} - n + n + n^{2}= 128$

$2n^{2} = 128$

$n^{2} = 64$

$n = 8$

$n = -8$ — не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $n = 8$

в) $C^{3}_{n} = 15(n-1) - C^{2}_{n}$

$\dfrac{n!}{3!(n-3)!} = 15(n-1) - \dfrac{n!}{2!(n-2)!}$

$\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} = 15(n-1) - \dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}$

ОДЗ: $n \geqslant 4, \ n \in \mathbb{N}$

$\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6} = 15(n-1) - \dfrac{n(n-1)}{2} \ \ \ | \cdot 6$

$n(n-1)(n-2) = 90(n-1) - 3n(n-1)$

$n(n-1)(n-2) - 90(n-1) + 3n(n-1) = 0$

$(n-1)(n(n-2) - 90 + 3n) = 0$

$(n-1)(n^{2} - 2n - 90 + 3n) = 0$

$(n-1)(n^{2} + n - 90) = 0$

$\left[\begin{array}{ccc}n - 1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\n^{2} + n - 90 = 0\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}n = 1 \ \ \ \ \\n = -10 \\n = 9 \ \ \ \ \end{array}\right$

$n = 1$ — не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $n = 9$ ◀