Question

xcosxdx
это определенный интеграл, пределы от 0 по пи/2

Answer 1

Формула интегрирования по частям:

$\int\limits {u} dv=uv-\int\limits {v} \, du$

$\int\limits^{\frac{\pi}{2} }_0 {x\cos x} \, dx =\left<\begin{array}{l} u=x \\ du=dx \\ dv=\cos x\,dx\\ v=\sin x \end{array}\right>=(x\sin x)|^{\frac{\pi}{2} }_0-\int\limits^{\frac{\pi}{2} }_0 {\sin x} \, dx=\\=(x\sin x)|^{\frac{\pi}{2} }_0-(-\cos x)|^{\frac{\pi}{2} }_0=(x\sin x+\cos x)|^{\frac{\pi}{2} }_0=\\=\left(\dfrac{\pi}{2}\sin\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(0\sin0+\cos0\right)=\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot1+0\right)-\left(0+1\right)=\boxed{\dfrac{\pi}{2}-1}$