Question

Вычислите интегралы методом непосредственного интегрирования.
∫((1/4)^1-x*(1/2)^x-2)
∫2dx/36+x^2
Вычислите интегралы методом замены переменной или подведением под знак дифференциала.
∫x(x^2-1)^3 dx
∫tg(x+1)/cos^2(x+1) dx
Вычислите интеграл методом интегрирования по частям.
∫xdx/sin^2x

Answer 1

$1)\; \; \int (\frac{1}{4})^{1-x}\cdot (\frac{1}{2})^{x-2}\, dx=\int (\frac{1}{2})^{2-2x}\cdot (\frac{1}{2})^{x-2}\, dx=\int (\frac{1}{2})^{-x}\, dx=\\\\=-\dfrac{(\frac{1}{2})^{-x}}{ln\frac{1}{2}}+C=-\dfrac{2^{x}}{-ln2}+C=\dfrac{2^{x}}{ln2}+C$

$2)\; \; \int \frac{2\, dx}{36+x^2}=\frac{2}{6}\cdot arctg\frac{x}{6}+C=\frac{1}{3}\cdot arctg\frac{x}{6}+C$

$3)\; \; \int x(x^2-1)^3\, dx=\int (x^7-3x^4+3x^3-1)\, dx=\frac{x^8}{8}-\frac{3x^5}{5}+\frac{3x^4}{4} -x+C\\\\ili\; \; \; \int x(x^2-1)^3\, dx=\Big[\; u=x^2-1\; ,\; du=2x\, dx\; ]=\frac{1}{2}\int u^3\, du=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^4}{4}+C=\frac{(x^2-1)^4}{8}+C$

$4)\; \; \int \frac{tg(x+1)}{cso^2(x+1)}\, dx=\int tg(x+1)\cdot d(tg(x+1))=\frac{tg^2(x+1)}{2}+C$

$5)\; \; \int \frac{x\, dx}{sin^2x}=\Big[\; u=x\; ,\; du=dx\; ,\; dv=\frac{dx}{sin^2x}\; ,\; v=-ctgx\; \Big]=\\\\=uv-\int v\, du=-x\cdot ctgx+\int ctgx\, dx=-x\cdot ctgx+ln|sinx|+C\\\\\star \; \; \int ctgx\, dx=\int \frac{cosx}{sinx}\, dx=\int \frac{d(sinx)}{cosx}=ln|cosx|+C\; \; \star$