Question

Решите неравенство ( объясните решение)
(x-3)^2x^2-7x>1

Answer 1

$(x-3)^{2x^{2} - 7x} > 1$

ОДЗ: $x - 3 > 0; \ x > 3$ при $2x^{2} - 7x$ — любое, и $x - 3 < 0; \ x < 3$, если $(2x^{2} - 7x)\in \mathbb{Z}$ .

Прологарифмируем обе части неравенства с основанием, например, 3.

$\log_{3}(x-3)^{2x^{2} - 7x} > \log_{3}1$

По свойству логарифма $\log_{a}b^{p} = p\log_{a}b$ имеем:

$(2x^{2} - 7x)\log_{3}(x-3) > 0$

Решим неравенство методом интервалов (обобщенный).

1) Найдем ОДЗ: $x - 3 > 0; \ x > 3$

2) Найдем значения $x$, при которых функция $y=(2x^{2} - 7x)\log_{3}(x-3)$ равна нулю (найдем нули функции):

$(2x^{2} - 7x)\log_{3}(x-3) = 0$

Произведение множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:

$\left[\begin{array}{ccc}2x^{2} - 7x = 0 \ \ \ \\\log_{3}(x-3) = 0\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x(2x - 7) = 0 \\\ x-3 = 1 \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 0 \ \ \ \\x = 3,5\\x = 4 \ \ \ \end{array}\right$

$x =0$ не удовлетворяет ОДЗ.

3) Разобьем область определения на промежутки, каждый из концов которого является корнем уравнения $(2x^{2} - 7x)\log_{3}(x-3) = 0$ или конечной точкой промежутка определения функции $y=(2x^{2} - 7x)\log_{3}(x-3)$

4) Определим знак $y=(2x^{2} - 7x)\log_{3}(x-3)$ на каждом из образовавшихся промежутков.

5) Объединим промежутки, на которых функция $y=(2x^{2} - 7x)\log_{3}(x-3)$ удовлетворяет неравенству, во множество решений.

Смотрите вложение.

Получаем решение: $x \in (3; \ 3,5) \cup (4; +\infty)$

Разберем случай, когда $x < 3$ при $(2x^{2} - 7x)\in \mathbb{Z}$ (поскольку отрицательное число можно возводить только в целую степень). Пусть $2x^{2} - 7x = n,$ где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда

$x^{2} - \dfrac{7}{2} x = \dfrac{1}{2}n, \ n \in \mathbb{Z}$

$x^{2} - \dfrac{7}{2}x + \dfrac{49}{16} = \dfrac{1}{2} n + \dfrac{49}{16}, \ n \in \mathbb{Z}$

$\left(x - \dfrac{7}{4} \right)^{2} = \dfrac{1}{2}n + \dfrac{49}{16}, \ n \in \mathbb{Z}$

$x - \dfrac{7}{4} = \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}n + \dfrac{49}{16} }, \ n \in \mathbb{Z}$

$x= \dfrac{7}{4} \pm \dfrac{1}{4} \sqrt{8n + 49}, \ n \in \mathbb{Z}$

$x= \dfrac{1}{4}\left(7 \pm\sqrt{8n + 49} \right), \ n \in \mathbb{Z}$

Здесь $8n + 49 \geq 0, \ n \in \mathbb{Z}$ при $n \geq -\dfrac{49}{8}, \ n \in \mathbb{Z}$

Так как $x < 3$, то

$\left[\begin{array}{ccc} \dfrac{1}{4}\left(7 -\sqrt{8n + 49} \right) < 3, \ n \in \mathbb{Z} \\ \\\dfrac{1}{4}\left(7 + \sqrt{8n + 49} \right)< 3, \ n \in \mathbb{Z}\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc} \sqrt{8n + 49} > -5, \ n \in \mathbb{Z} \\ \\\sqrt{8n+ 49}< 5, \ n \in \mathbb{Z} \ \ \\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}n \geq -\dfrac{49}{8}, \ n \in \mathbb{Z} \ \ \ \ \ \ \ \\\ -\dfrac{49}{8} \leq n < -3, \ n \in \mathbb{Z} \\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}n = \{-6; \ -5; \ -4; \ -3; \ -2; ... \} \\\ n = \{-6; \ -5; \ -4\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

При $n = -5$ получается неопределенность $0^{0}$ в исходном неравенстве.

Если $(x-3)^{n} > 1$ при $n \in \mathbb{Z}$, то данное неравенство будет выполнятся в таких случаях:

1) если основание степени $x - 3 >-1$, то есть если $x > 2$, то показатель степени равен:

$\left[\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{4}\left(7 - \sqrt{8n + 49} \right) > 2, \ n \in \mathbb{Z} \\ \\\dfrac{1}{4}\left(7 + \sqrt{8n + 49} \right) > 2, \ n \in \mathbb{Z}\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}n \in \varnothing \ \ \\n = {-4}\\\end{array}\right$

Значит, при $n = -4$ имеем:

$x= \dfrac{1}{4}\left(7 +\sqrt{8 \cdot (-4) + 49} \right) = \dfrac{1}{4} (7 + \sqrt{17})$

2) если основание степени $x - 3 < -1$, то есть если $x < 2$, то показатель степени должен быть четным и целым положительным, то есть $n = \{2; \ 4; \ 6; \ 8; ... \}$, поскольку если в основании степени находится число, меньшее $-1$, то сама степень может быть больше единицы тогда и только тогда, когда показатель степени — четное натуральное число, поэтому выполняется только $x = \dfrac{1}{4} \left(7 - \sqrt{8k + 49} \right),$ где $k = 2n, \ n \in \mathbb{N}$.

Ответ: $x = \dfrac{1}{4} \left(7 + \sqrt{17} \right);$ $x \in (3; \ 3,5) \cup (4; +\infty);$ $x = \dfrac{1}{4} \left(7 - \sqrt{8k + 49} \right), \ k = 2n, \ n \in \mathbb{N}$