Question

Помогите решить пример с решением.

Answer 1

Заметим, что

$\frac{1}{3+2\sqrt2}=\frac{3-2\sqrt2}{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)}=\frac{3-2\sqrt2}{9-8}=3-2\sqrt2,$ т.е.

$(3-2\sqrt2)^{x/2}=(\frac{1}{3+2\sqrt2} )^{x/2}=\frac{1}{(3+2\sqrt2)^{x/2}}$.

Сделаем замену: $(3+2\sqrt2)^{x/2}=t>0$

Уравнение принимает следующий вид:

$t+\frac{1}{t}=34,|\cdot t\neq 0\\\\t^2-34t+1=0;\\\\D_1=(\frac{b}{2})^2-ac=(-17)^2-1=288=12^2\cdot2$

$t_{1,2}=\frac{(-\frac{b}{2})\pm\sqrt{D_1} }{a}=17\pm12\sqrt2.$

$t_1=17+2\sqrt2, t_2=17-2\sqrt2$

Обратная замена:

$\left \ [ {{(3+2\sqrt2)^{x/2}=17+12\sqrt2} \atop {(3+2\sqrt2)^{x/2}=17-12\sqrt2}} \right.$

Обе строки совокупности - в силу положительности каждой из частей - возведем в квадрат, чтобы избавиться от двойки в знаменателе показателя степени:

$\left \ [ {{(3+2\sqrt2)^x=(17+12\sqrt2)^2} \atop {(3+2\sqrt2)^x=(17-2\sqrt2)^2}} \right.$    $\left \ [ {{x=\log_{(3+2\sqrt2)}(17+12\sqrt2)^2} \atop {x=\log_{(3+2\sqrt2)}(17-12\sqrt2)^2} \right. \left \ [ {{x=2\log_{(3+2\sqrt2)}(17+12\sqrt2)} \atop {x=2\log_{(3+2\sqrt2)}(17-12\sqrt2)}} \right.$

Заметим, что

$(3+2\sqrt2)^2=9+12\sqrt2+8=17+12\sqrt2,$ $\frac{1}{17+12\sqrt2}=\frac{17-12\sqrt2}{(17-12\sqrt2)(17+12\sqrt2)}=\frac{17-12\sqrt2}{289-288}=17-12\sqrt2$

Тогда

$\log_{(3+2\sqrt2)}(17+12\sqrt2)=2,\\\log_{(3+2\sqrt2)}(17-12\sqrt2)=-\log_{(3+2\sqrt2)}(17+12\sqrt2)=-2$

$\left \ [ {{x=2\cdot2} \atop {x=2\cdot(-2)}} \right. \left \ [ {{x=4} \atop {x=-4}} \right.$

ОТВЕТ: -4; 4.