Question

Решить уравнения. Заменить одинаковое на t, как с биквадратными.
1) (х в квадрате— 8)в квадрате+4(х в квадрате - 8) – 5 = 0;
2) (x в квадрате + 6x)в квадрате + 8(x в квадрате - 6x) – 9 = 0;

Answer 1

$1) \ (x^{2} - 8)^{2} + 4(x^{2} - 8) - 5 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $x^{2} - 8 = t$

Получаем уравнение, которое решим относительно $t$:

$t^{2} + 4t - 5 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета:

$\displaystyle \left \{ {{t_{1} + t_{2} = -4} \atop {t_{1} \cdot t_{2} = -5 \ }} \right.$

$t_{1} = -5; \ t_{2} = 1$

Сделаем обратную замену:

$\bullet \ x^{2} - 8 = -5; \ x^{2} = 3; \ x = \pm \sqrt{3}$

$\bullet \ x^{2} - 8 = 1; \ x^{2} = 9; \ x = \pm 3$

Ответ: $-3; \ -\sqrt{3}; \ \sqrt{3}; \ 3$

$2) \ (x^{2} + 6x)^{2} + 8(x^{2} + 6x) - 9 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $x^{2} + 6x = t$

Получаем уравнение, которое решим относительно $t$:

$t^{2} + 8t - 9 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета:

$\displaystyle \left \{ {{t_{1} + t_{2} = -8} \atop {t_{1} \cdot t_{2} = -9 \ }} \right.$

$t_{1} = -9; \ t_{2} = 1$

Сделаем обратную замену:

$\bullet \ x^{2} + 6x = -9\\x^{2} + 6x + 9 = 0\\(x + 3)^{2} = 0\\x + 3 = 0\\x = -3$

$\bullet \ x^{2} + 6x = 1\\x^{2} + 6x - 1 = 0\\D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40\\x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10} = \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = -3 - \sqrt{10}\\x_{2} = -3 + \sqrt{10}\\\end{array}\right$

Ответ: $-3 - \sqrt{10}; \ -3; \ -3 + \sqrt{10}$