Question

Найдите количество целых корней уравнения

x^3 - 3x^2 +2 =0

Answer 1

$x^{3} - 3x^{2} + 2 = 0$

Решим заданное уравнение, разложив выражение, находящееся в левой части уравнения, на множители, при помощи метода группирования (группировки).

$x^{3} - x^{2} - 2x^{2} + 2 = 0\\x^{2}(x - 1) - 2(x^{2} - 1) = 0\\x^{2}(x - 1) - 2(x - 1)(x + 1) = 0$

Выносим общий множитель $(x-1)$ и получаем:

$(x - 1)(x^{2} - 2(x + 1)) = 0\\(x - 1)(x^{2} - 2x - 2) = 0$

Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$\left[\begin{array}{ccc}x - 1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \\x^{2} - 2x - 2 = 0\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \end{array}\right$

$\sqrt{D} = \sqrt{12} \notin \mathbb{Z}$, следовательно, всего есть один целый корень данного уравнения.

Ответ: 1 целый корень.