Question

Решить дифференциальное уравнение и определить тип​

Answer 1

Тип: линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Поделим обе части уравнения на $-0{,}25y^5$, получим

$-\dfrac{4y'}{y^5}-\dfrac{4\sin2x}{y^4(\cos 2x-5)}=-4$

Пусть $v=\dfrac{1}{y^4}$, тогда $v'=-\dfrac{4y'}{y^5}$, получаем

$v'-\dfrac{4v\sin2x}{\cos 2x-5}=-4$

Далее умножим обе части последнего уравнения на $(\cos 2x-5)^2$

$v'(\cos 2x-5)^2-4v\sin 2x(\cos 2x-5)=-4(\cos 2x-5)^2\\ \\ \Big(v\cdot (\cos 2x-5)^2\Big)'=-4(\cos 2x-5)^2\\ \\ v(\cos 2x-5)^2=\displaystyle \int -4(\cos 2x-5)^2dx\\ \\ v(\cos 2x-5)^2=-102x+20\sin 2x-\dfrac{\sin4x}{2}+C\\ \\ v=\dfrac{20\sin2x-102x-\dfrac{\sin 4x}{2}+C}{(\cos 2x-5)^2}\\ \\ \\ \dfrac{1}{y^4}=\dfrac{20\sin2x-102x-\dfrac{\sin 4x}{2}+C}{(\cos 2x-5)^2}\\ \\ \\ \boxed{y=\pm\sqrt[4]{\dfrac{(\cos2x-5)^2}{20\sin2x-102x-\dfrac{\sin 4x}{2}+C}}}$