Question

В треугольной пирамиде SABC все углы при вершине С прямые, SC = 4, AC=BC=3. На ребрах SA и SB взяты точки M и N соответственно, так что SM/MA = BN/NS = 2/3. Найдите косинус угла между прямыми CM и NA
По возможности, пожалуйста, решите векторно-координатным методом

Answer 1

Поскольку все углы при вершине С прямые, то поместим именно вершиной С в начало координат.

СА - по оси О, СВ - по оси Оу.

Находим координаты заданных точек. С(0; 0; 0).

х(М) = 3*(2/5) = 6/5 = 1,2.

y(M) = 0.

z(M) = 4*(3/5) = 12/5 = 2,4.   M(1,2; 0; 2,4).

A(3; 0; 0).

x(N) = 0.

y(N) = 3*(3/5) = 9/5 = 1,8.

z(N) = 4*(2/5) = 8/5 = 1,6.     N(0; 1,8; 1,6).

Находим векторы:

СМ (1,2; 0; 2,4),  AN = M(-3; 1,8; 1,6).

Модули этих векторов равны:

|СМ| = √(1,2² + 0² + 2,4²) = √(180/25) = 6√5/5.

|AN| = √((-3)² + 1,8² + 1,6²) = √(370/25) = √74/√5.

Находим косинус угла:

cosφ = |1,2*(-3) + 0*1,8 + 2,4*1,6}/(6√5/5*√74/√5) = √74/370 ≈ 0,02325.

Угол равен 1,547545 радиан или 88,66778 градуса.