Question

Помогите пожалуйста дам 20б.
Решить уравнение используя снижения порядка
x(y''+1)+y'=0

Answer 1

Понизим порядок с помощью замены $y'=u$, тогда $y''=u'$

$x(u'+1)+u=0\\ \\ u'x+u=-x\\ \\ (u\cdot x)'=-x\\ \\ \displaystyle ux=\int -xdx~~~\Rightarrow~~~ ux=-\dfrac{x^2}{2}+C_1\\ \\ u=\dfrac{-x}{2}+\dfrac{C_1}{x}$

Выполним обратную замену

$y'=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}\\ \\ \displaystyle y=\int \left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}\right)dx\\ \\ \\ \boxed{y=-\dfrac{x^2}{4}+C_1\ln |x|+C_2}$