Question

Логарифмическое неравенство 9 (1/5 заменить на 1/2, там неправильно иначе)

Answer 1

Ответ: x∈(3;6].

Объяснение:

(1/2)*logₓ₋₂(2x+4)≥1  |×2

logₓ₋₂(2x+4)≥2

ОДЗ: x-2>0     x>2     x-2≠1       x≠3   2x+4>0      2x>-4  |÷2     x>-2   ⇒

x∈(2;3)U(3;+∞).

1) x∈(2;3)

2x+4≤(x-2)²

2x+4≤x²-4x+4

x²-6x≥0

x*(x-6)≥0

-∞__+__0__-__6__+__+∞

x∈(-∞;0]U[6;+∞)     ⇒     x∉

2) x∈(3;+∞)

2x+4≥(x-2)²

2x+4≥x²-4x+4

x²-6x≤0    

x*(x-6)≤0

-∞__+__0__-__6__+__+∞

x∈[0;6]      ⇒

x∈(3;6].

Answer 2

ОДЗ:

х-2 >0             x>2

x-2≠1             x≠3

$log_{x-2}(2x+4)\geq 2\\log_{x-2}(2x+4)\geq log_{x-2}((x-2)^{2} )\\log_{x-2}\frac{2x+4}{(x-2)^{2} }\geq 0\\log_{x-2}\frac{2x+4}{(x-2)^{2} }\geq log_{x-2}(1)$

при х-2 > 1

$\frac{2x+4}{(x-2)^2}-\frac{(x-2)^2}{(x-2)^2}\geq 0\\\frac{2x+4-(x^2-4x+4)}{(x-2)^2 } \geq 0\\ \frac{-x^2+6x}{(x-2)^2}\geq 0 \\\frac{x(x-6)}{(x-2)^2}\leq 0\\\\x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=6\\x\in[0;6]$

x ∈[0;6] x-2 > 1         => x∈(3;6]

при 0< х-2 < 1

при 2<x<3

$\frac{2x+4}{(x-2)^2}-\frac{(x-2)^2}{(x-2)^2}\leq 0\\\frac{2x+4-(x^2-4x+4)}{(x-2)^2 } \leq 0\\ \frac{-x^2+6x}{(x-2)^2}\leq 0 \\\frac{x(x-6)}{(x-2)^2}\geq 0\\\\x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=6\\x\in(-\infty;0)\cup(6;+\infty)$

учитывая, что 2<x<3 то в данном случае ∅

Ответ: x∈(3;6]