Question

Решите уравнение
${ ({e}^{2x} - 5 {e}^{x} + 6)}^{2} = \frac{ | {e}^{x} - 2 | }{ {e}^{x} - 2 } - 1$
​

Answer 1

${ ({e}^{2x} - 5 {e}^{x} + 6)}^{2} =\dfrac{ | {e}^{x} - 2 | }{ {e}^{x} - 2 } - 1$

ОДЗ: $e^x-2\neq 0\Rightarrow e^x\neq 2\Rightarrow x\neq \ln2$

Замена: $e^x=y>0$

$(y^2 -5y+ 6)^2=\dfrac{|y-2|}{y-2}-1$

Раскроем модуль. Первый случай. Пусть $y-2\geq 0\Rightarrow y\geq 2$:

$(y^2 -5y+ 6)^2=\dfrac{y-2}{y-2}-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=1-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=0$

$y^2 -5y+ 6=0$

$(y-2)(y-3)=0$

$y=2\Rightarrow e^x=2$ - не удовлетворяет ОДЗ

$y=3\Rightarrow e^x=3\Rightarrow \boxed{x=\ln3}$

Второй случай. Пусть $y-2<0\Rightarrow y<2$:

$(y^2 -5y+ 6)^2=\dfrac{-(y-2)}{y-2}-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=-1-1$

$(y^2 -5y+ 6)^2=-2$

Квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, значит в этом случае корней нет.

Ответ: ln3