Question

50 БАЛЛОВ! Точка Р принадлежит стороне АD квадрата ABCD, а точка О приналежит диагонали АС, причем АP:АD=1:3 и ОС=
$20 \sqrt{2}$

см.Вычислите площадь четырехугольника POCD, если известно, что около него можно описать окружность.​

Answer 1

Пусть $AP=x$ и $AD=3x$. Около четырехугольника вписали окружность, следовательно, $\angle POC=180^\circ-\angle CDP=90^\circ$. Следовательно, OP ⊥ AC. Отсюда ΔAOP - равнобедренный прямоугольный треугольник.

$AO=OP=\dfrac{AP}{\sqrt{2}}=\dfrac{x}{\sqrt{2}}$

Прямоугольные треугольники AOP и ACD подобны по двум углам

$\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AO}{AD}~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}}+20\sqrt{2}}=\dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{3x}~~\Rightarrow~~~ \dfrac{\sqrt{2}}{x+40}=\dfrac{1}{3x\sqrt{2}}\\ \\ 6x=x+40\\ \\ 5x=40\\ \\ x=8$

$S_{ACD}=\dfrac{AD\cdot CD}{2}=\dfrac{(3\cdot 8)^2}{2}=288$ кв. ед.

$S_{AOP}=\dfrac{AO\cdot OP}{2}=\dfrac{(4\sqrt{2})^2}{2}=16$ кв. ед.

Площадь четырехугольника POCD:

$S_{POCD}=S_{ACD}-S_{AOD}=288-16=272$ кв. ед.

Ответ: 272.