Question

Про положительные числа а,в,с известно, что 1/а+/b+1/c>=a+b+c
Докажите, что a+b+c>=3abc

Answer 1

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq a+b+c=>bc+ac+ab\geq abc(a+b+c)$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\geq [(x-y)^2\geq 0=>\dfrac{x^2+y^2}{2}\geq xy]\geq ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc=3(ab+ac+bc)\geq 3abc(a+b+c)\\ a,b,c>0=>a+b+c>0=>a+b+c\geq 3abc$