Question

Докажите, что площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна квадрату его высоты.​

Answer 1

Каждая задача на доказательство имеет несколько решений.

Вот пара легчайших способов решения данной задачи.

Answer 2

Площадь трапеции равна произведению высоты и средней линии. Докажем, что в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота и средняя линия равны.

Соединим середины сторон трапеции. Стороны полученного (синего) четырехугольника параллельны диагоналям трапеции (т.к. являются средними линиями в треугольниках, отсекаемых диагоналями). Отсюда же следует, что угол синего четырехугольника равен углу между диагоналями. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник, его диагонали равны.

В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, является высотой (равнобедренная трапеция - усеченный равнобедренный треугольник, в котором медиана является высотой). Таким образом, высота и средняя линия данной трапеции равны как диагонали прямоугольника.

m=h => S=mh=h^2