Question

Найти сложные производные:
1) y=3^ctg^2*1/x
2)y=arcsin^2(lnx)
3)y=sqrt(e^sin2x)

Answer 1

$1)\; \; y=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\; \; ,\; \; (e^{u})'=e^{u}\cdot u'\; ,\; \; u=ctg^2\frac{1}{x}\\\\y'=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot (ctg^2\frac{1}{x})'=\Big [\; (u^2)'=2\, u\cdot u'\; ,\; u=ctg\frac{1}{x}\; \Big ]=\\\\=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot (ctg\frac{1}{x})'=\Big [\; (ctgu)'=-\frac{1}{sin^2u}\cdot u'\; ,\; u=\frac{1}{x}\; ]=\\\\=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot \frac{-1}{sin^2\frac{1}{x}}\cdot (\frac{1}{x})'=$

$=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot \frac{-1}{sin^2\frac{1}{x}}\cdot \frac{-1}{x^2}=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{sin^2\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}$

$2)\; \; y=arcsin^2(lnx)\; \; ,\; \; \; (u^2)'=2\, u\cdot u'\; ,\; u=arcsin(lnx)\\\\y'=2\, arcsin(lnx)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-ln^2x}}\cdot \frac{1}{x}\\\\\\3)\; \; y=\sqrt{e^{sin2x}}\; \; ,\; \; (\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\; \; ,\; \; u=e^{sin2x}\\\\y'=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot (e^{sin2x})'=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot (sin2x)'=\\\\=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot cos2x\cdot (2x)'=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot cos2x\cdot 2=$

$=\frac{1}{\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot cos2x=\sqrt{e^{sin2x}}\cdot cos2x$