Question

Решить систему уравнений

Answer 1

Ответ:

(x,y) ∈ {(-1; -2)}

Объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{5x-2y+4=\sqrt{x-5y} } \atop {10x^{2}-x+20y^{2}+5y+27=54xy}} \right.$

Область допустимых значений: x-5y≥0, 5x-2y+4≥0.

Введём замену переменных: u=5x-2y≥-4, v=x-5y≥0. В силу этого:

u·v=(5x-2y)·(x-5y)=5x²-27xy+10y²

Тогда

$\displaystyle \left \{ {{(5x-2y)+4=\sqrt{x-5y} } \atop {2(x^{2}-27xy+10y^{2})-(x-5y)+27=0}} \right.$  ⇔

⇔ $\displaystyle \left \{ {{u+4=\sqrt{v} } \atop {2uv-v+27=0}} \right.$  ⇔ $\displaystyle \left \{ {{u=\sqrt{v}-4 } \atop {2(\sqrt{v} -4)v-v+27=0}} \right.$

Опять введём замену переменного: v=t²

$\displaystyle \left \{ {{u=t-4 } \atop {2(t -4)t^{2} -t^{2}+27=0}} \right.$  ⇔ $\displaystyle \left \{ {{u=t-4 } \atop {(t-3)^{2}(2t+3)=0}} \right.$

Отсюда, t₁=3, t₂= -3/2. Переведём значения переменных обратно:

v₁=3²=9>0, v₂=(-3/2)²=9/4>0

u₁=3-4= -1>-4 - подходит, u₂=-3/2-4= -5,5 < -4 - не подходит.

Отсюда: u= -1.

u= -1, v=9

$\displaystyle \left \{ {5x-2y=-1} \atop {x-5y=9}} \right. \\\\\left \{ {5(5y+9)-2y=-1} \atop {x=5y+9}} \right.\\\\\left \{ {25y+45-2y=-1} \atop {x=5y+9}} \right.\\\\\left \{ {23y=-46} \atop {x=5y+9}} \right.\\\\\left \{ {y=-2} \atop {x=5*(-2)+9=-1}} \right.$

Значит, x= -1, y= -2.