Question

В гонке с раздельным стартом соревновались 5 велосипедистов: Антон, Боря, Вова, Гоша и Дима.

Известно, что первым со старта уехал Антон, за ним Боря, потом Вова, Гоша уехал со старта четвертым, а последним стартовал Дима. Известно, что за все время гонки Дима обгонял или его обгоняли в общей сложности 2018 раз. На каком месте мог закончить гонку Дима?
Пояснение к задаче: Если вы уверены, что Дима может закончить на этом месте, выберите «да». Если вы уверены, что он не мог оказаться на этом месте, выбирайте ответ «нет». Если вы не уверены в ответе, лучше ответить «не знаю», — тогда вы точно не потеряете баллы за этот пункт

Answer 1

Ответ:

1, 3 или 5 место

Пошаговое объяснение:

Заметим, что когда Дима кого-то обгоняет, или его кто-то обгоняет , то Дима меняется в гонке местами с этим человеков (такую ситуацию будем называть обгоном с участием Димы). Например, если Дима был на 2-м месте и обогнал 1-го, то теперь на первом месте Дима. Если Дима был на 4-м месте, а его кто-кто обогнал, то теперь Дима на 5-м месте в гонке. Поскольку у любого натурального числа соседи в натуральном ряду имеют другую четность, то при обгоне с участием Димы его место в гонке меняет четность. По условию задачи всего было 2018 обгонов с участием Димы, то есть его место 2018 раз поменяло четность. Поскольку 2018 четное число, то в итоге четность места Димы в гонке не изменилась по сравнению с первоначальной. В начале гонки Дима был на 5-м месте, этот номер нечетен, значит, и в конце гонки Дима может быть только на нечетном месте: первом, третьем или пятом.